حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{1} = 4 x$ . إذن $d u_{1} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{1} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ و $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u_{2} = e^{u_{1}}$ . إذن $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u_{2} = e^{u_{1}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

خطوة 2.3.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.5

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

احسِب قيمة $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

خطوة 4.2.1.5

اقسِم $0.0174524$ على $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $0.0043631$ من كلا المتعادلين.

$K = - 0.0043631$

خطوة 5

عوّض بـ $- 0.0043631$ عن $K$ في $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 0.0043631$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$