حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

خطوة 1.2

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

خطوة 1.2.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

خطوة 6.1.2.2

أخرِج العامل $V$ من $V \ln (V) - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

أخرِج العامل $V$ من $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

خطوة 6.1.2.2.2

أخرِج العامل $V$ من $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

خطوة 6.1.2.2.3

أخرِج العامل $V$ من $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

خطوة 6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V (\ln (V) - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = \ln (V)$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ ، لذا $V d u_{1} = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = \ln (V)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

خطوة 6.2.2.1.1.2

مشتق $\ln (V)$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} - 1$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} - 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.2.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 6.3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

خطوة 6.3.3

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

خطوة 6.3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

خطوة 6.3.5

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

خطوة 6.3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.4

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

خطوة 6.3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

خطوة 6.3.5.4.3

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

خطوة 6.3.5.4.4

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

خطوة 6.3.5.4.5

أعِد كتابة $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

خطوة 6.3.5.4.6

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

خطوة 6.3.5.4.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

خطوة 6.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = e^{C | x | + 1}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{C | x | + 1} x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$