حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $(x^{2} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

اضرب $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.3.1.2

اجمع $- 3$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 5.3

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

خطوة 5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

خطوة 5.5

بسّط $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

لكتابة $- \ln ({| x |}^{3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اجمع $- \ln ({| x |}^{3})$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اضرب $- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.3.1.2

بسّط $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.3.2

اضرب الأُسس في ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.3.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{6}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

خطوة 5.5.4

لكتابة $3 C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 5.5.5

اجمع $3 C$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.5.7

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

خطوة 5.5.8

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 5.5.9

اضرب $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 5.5.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.10.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 5.5.10.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 5.5.10.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 5.5.10.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 5.5.10.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.10.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 5.5.10.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 5.5.10.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.5.10.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.10.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.5.10.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 5.5.10.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 5.5.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.11.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 5.5.11.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 5.5.12

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.12.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

خطوة 5.5.12.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$