حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x - (2 + x) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $d x$ من كلا المتعادلين.

$- (2 + x) d y = - d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 + x}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2 + x}$ و $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الثابت.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u = 2 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u = 2 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + x$ .

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.2

اقسِم $\ln (| 2 + x |)$ على $1$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

خطوة 5.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \ln (| 2 + x |) + C$