حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

خطوة 1

لنفترض أن $v = f - c$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $f - c$ .

$\frac{d f}{d t} = y v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d t}$ بإيجاد مشتقة $f - c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $f - c$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [f]$ بالصيغة $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

خطوة 2.3

بما أن $- c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- c$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

خطوة 2.4

أضف $f'$ و $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$\frac{d v}{d t} = y v$

خطوة 4

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $v$ من $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

خطوة 4.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

خطوة 5.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

خطوة 5.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

خطوة 5.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

خطوة 6

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\ln (| v |) = t y + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

خطوة 6.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

خطوة 7

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $e^{t y + C}$ بالصيغة $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب $e^{t y}$ و $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

خطوة 7.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C e^{t y}$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

خطوة 9

أضف $c$ إلى كلا المتعادلين.

$f = C e^{t y} + c$