حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{5 + e^{x}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{e^{x}}{5 + e^{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{5 + e^{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{5 + e^{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 5 + e^{x}$ . إذن $d u = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 5 + e^{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + e^{x}]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.3.1.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

خطوة 2.3.1.1.4

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$e^{x}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 5 + e^{x} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \ln (| 5 + e^{x} |) + C$