حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d q}{d t}$ . إذن $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d q}{d t}$ وبـ $\frac{d v}{d t}$ عن $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اطرح $25 v$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

خطوة 2.1.2

اقسِم كل حد في $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اقسِم كل حد في $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

خطوة 2.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d v}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

خطوة 2.1.2.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 25 v)$ بالصيغة $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

خطوة 2.1.2.3.3

اضرب $- 25$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

خطوة 2.3.2

اجمع $25$ و $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

خطوة 3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

خطوة 4.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{25 t + C_{3}}$ بالصيغة $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{25 t}$ و $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C_{4} e^{25 t}$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

خطوة 7

أعِد كتابة المعادلة.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

خطوة 8

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

خطوة 8.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $C_{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $C_{4}$ خارج التكامل.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

خطوة 8.3.2

لنفترض أن $u = 25 t$ . إذن $d u = 25 d t$ ، لذا $\frac{1}{25} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

افترض أن $u = 25 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

خطوة 8.3.2.1.2

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $25 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.4

اضرب $25$ في $1$ .

$25$

خطوة 8.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

خطوة 8.3.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

خطوة 8.3.4

بما أن $\frac{1}{25}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{25}$ خارج التكامل.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

خطوة 8.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

خطوة 8.3.6

بسّط.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

خطوة 8.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

خطوة 8.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

خطوة 8.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

خطوة 8.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$