حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 6 x d x$

خطوة 1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = 6 \int x d x$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$

خطوة 1.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$

خطوة 1.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{1}$

خطوة 1.4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{1}$

خطوة 1.4.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{1}$

خطوة 1.4.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{1}$

خطوة 1.4.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{1}$

خطوة 1.4.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (3 x^{2} + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = 3 \int x^{2} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.5.2

بسّط.

$y + C_{2} = x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = x^{3} + C x + D$