حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

خطوة 1.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

خطوة 1.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

خطوة 1.4

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.5

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.3.7

بسّط.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

خطوة 3.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$