حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $e^{- y}$ من $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.2.1.2.1.2

اضرب $- y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.2.1.2.1.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = \frac{t}{3}$ . إذن $d u = \frac{1}{3} d t$ ، لذا $3 d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = \frac{t}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{t}{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

خطوة 2.3.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $\sin (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$