حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + (x^{2} y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $2 x y + 2 x^{2} y$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

خطوة 2.4

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب عوامل $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y + 2 x^{2} y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x y + 2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x y$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} y$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x y$ من $2 x y + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x y$ من $2 x y$ .

$\frac{x y (2) + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x y$ من $2 x^{2} y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x y$ من $- 1 \cdot 2 x y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.1.4

أخرِج العامل $x y$ من $x y (2) + x y (2 x)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.1.5

أخرِج العامل $x y$ من $x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 2)}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 + 2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{x y (2 x + 0)}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.3.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x y (2 x)}{x^{2} y}$

$\frac{x y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x y \cdot 2}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.2.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

خطوة 4.3.4.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int 2 d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + x^{2} y d y = 0$ في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ في $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) e^{2 x} d x + x^{2} y d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} y$ في $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y e^{2 x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y e^{2 x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{2} y e^{2 x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $x^{2} e^{2 x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{2} e^{2 x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

اجمع $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.3

اجمع $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.4

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.3.11

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{2} (2 e^{2 x}) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.3

اجمع $\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2}) e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.4.2

اقسِم $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ على $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.5

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.6

اجمع $2$ و $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.7

اجمع $\frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2}$ و $x$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2}) x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 e^{2 x} y^{2} x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.2.8.2

اقسِم $e^{2 x} y^{2} x$ على $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 11.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x}$

خطوة 12.1.2

اطرح $y^{2} x e^{2 x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ من $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} + 0 - y^{2} x e^{2 x}$

خطوة 12.1.3.2

أضف $x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

خطوة 12.1.3.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x y^{2} e^{2 x}$ و $- y^{2} x e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} x + 3 e^{2 x} - e^{2 x} y^{2} x$

خطوة 12.1.3.4

اطرح $e^{2 x} y^{2} x$ من $e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x} + 0$

خطوة 12.1.3.5

أضف $3 e^{2 x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $3 e^{2 x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 e^{2 x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 e^{2 x} d x$

خطوة 13.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (x) = 3 \int e^{2 x} d x$

خطوة 13.4

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 13.4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = 3 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 13.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 13.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (x) = 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 13.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$g (x) = \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 13.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

خطوة 13.9

بسّط.

$g (x) = \frac{3}{2} e^{u} + C$

خطوة 13.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$g (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

خطوة 15.1.3

اجمع $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

خطوة 15.1.4

اجمع $\frac{3}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$