حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2} + 1$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{2} + 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{2} + 1$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + V^{2} + 1 - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + V^{2} + 1 - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1 + 0$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف $V^{2} + 1$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

خطوة 6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أعِد ترتيب $V^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل قوس الظل.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$