حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x - 2} y = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x - 2} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x - 2} d x}$

خطوة 1.2.2

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 1.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 1.2.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 1.2.4

بسّط.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

خطوة 1.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$e^{2 \ln (| x - 2 |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x - 2)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{2})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(x - 2)}^{2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x - 2)$

خطوة 1.7

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x - 2) - 2 (x - 2)$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

خطوة 1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 1.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 1.8.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 1.8.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

خطوة 1.8.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2} - 4 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{2}{x - 2}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.3

اضرب $x^{2} - 4 x + 4$ في $\frac{2 y}{x - 2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 2.2.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ و $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{2} \cdot 2 y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اضرب في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.5.2.4

اقسِم $(x - 2) \cdot 2 y$ على $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x - 2) \cdot 2 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.7

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.8

اضرب $- 2$ في $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 4) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2.9

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2))$

خطوة 2.4

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

خطوة 2.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

خطوة 2.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

خطوة 2.5.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

خطوة 2.5.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$

خطوة 2.6

وسّع $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2 + 2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

انقُل $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.4

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 1} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.7

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.7.1

انقُل $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.7.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.8

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.9

اضرب $4$ في $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.10

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 4$

خطوة 2.7.11

اضرب $4$ في $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

خطوة 2.8

اطرح $4 x^{3}$ من $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

خطوة 2.9

أضف $4 x^{2}$ و $16 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

خطوة 2.10

أضف $20 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 16 x - 16 x + 16$

خطوة 2.11

اطرح $16 x$ من $- 16 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] d x = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} d x + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 8$ خارج التكامل.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 \int x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.5

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $24$ خارج التكامل.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.7

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 32$ خارج التكامل.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 \int x d x + \int 16 d x$

خطوة 6.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 16 d x$

خطوة 6.9

طبّق قاعدة الثابت.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

خطوة 6.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

خطوة 6.10.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

خطوة 6.10.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 16 x + C$

خطوة 6.10.2

بسّط.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

خطوة 6.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ على $x^{2} - 4 x + 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ على $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) y}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 4 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.4

اجمع.

$y = \frac{x^{5} \cdot 1}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.5

اضرب $x^{5}$ في $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.6

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.6.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3.1.6.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.6.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.8

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.8.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3.1.8.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.8.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.9

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.9.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3.1.9.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.9.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.11

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.11.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.11.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3.1.11.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.11.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 7.3.1.12

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.12.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

خطوة 7.3.1.12.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3.1.12.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

خطوة 7.3.1.12.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$