حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ على $y (x + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ على $y (x + 1)$ .

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{(x + 1) y}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(x + 1) y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

خطوة 1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

خطوة 1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 2.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 2.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 2.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u_{2} = x + 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u_{2} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x + 2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |) = 2 x + 2 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x + 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 x + 2 C$

خطوة 3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2})} = e^{2 x + 2 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$

خطوة 3.7.2

اقسِم كل حد في $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ على ${(x + 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم كل حد في $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ على ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.1.2

اقسِم $| y^{2} + 1 |$ على $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1$

خطوة 3.7.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{2 x + C}$ بالصيغة $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x} e^{C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{2 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{C} e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C \frac{C e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$