حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

خطوة 2.3.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اجمع $2$ و $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $4$ عن $y$ في $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ .

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{4}{3}$ في $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{4}{3}$ من كلا المتعادلين.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

خطوة 4.3.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $4$ في $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $4$ من $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{8}{3}$ عن $K$ في $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{8}{3}$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{4}{3}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$