حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = \ln (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3.4

اجمع $y$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.3.6

اضرب $\ln (y)$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 x y e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

خطوة 1.4.5

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

خطوة 1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 - x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x y e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

بما أن $- y e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

خطوة 2.3.8

اضرب $1 - x y e^{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

خطوة 2.4

اطرح $x y e^{y}$ من $x (- y e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

خطوة 2.4.2

اطرح $x y e^{y}$ من $- 1 \cdot x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x y e^{y} + 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 x y e^{y} + 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.3

احذِف الأقواس.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $- 2 x y e^{y}$ و $2 e^{y} x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

انقُل $e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.4.2

أضف $- 2 x y e^{y}$ و $2 x y e^{y}$ .

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.6

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.2.7

أضف $2 e^{y} x$ و $0$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (y)$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $2 e^{y} x - \ln (y)$ و $\ln (y) - 2 x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $2 e^{y} x$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln (y)$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ بالصيغة $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ .

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

خطوة 4.3.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

خطوة 4.3.4.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

خطوة 4.3.4.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

$- \frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ في $\frac{1}{y}$ .

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (y)$ .

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.4.2

اقسِم $\ln (y) - 2 x e^{y}$ على $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x (1 - x y e^{y})$ في $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $x$ في $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.9

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

انقُل $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.9.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.10

اضرب $x - x^{2} y e^{y}$ في $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.11

أخرِج العامل $x$ من $x - x^{2} y e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.11.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.11.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.11.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} y e^{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

خطوة 6.11.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

خطوة 8.3

بما أن $- 2 e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2 e^{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8.5

بسّط.

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

خطوة 8.6.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\ln (y) x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.3.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.3.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{y} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 11.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.3.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.3.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.3.4

اضرب $- x^{2} (- y e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

خطوة 12.1.3.4.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

خطوة 12.1.4

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

خطوة 12.1.5

أضف $0$ و $x^{2} y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

خطوة 12.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

خطوة 12.1.6.2

اقسِم $x^{2} e^{y}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

خطوة 12.1.7

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.7.1

أضف $- x^{2} e^{y}$ و $x^{2} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

خطوة 12.1.7.2

أضف $\frac{d g}{d y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$