حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ بالصيغة $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $- 1$ عن $x$ وبـ $- 5$ عن $y$ في $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ .

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ .

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

خطوة 4.2.5

اضرب $9$ في $- 1$ .

$- 9 + K = - 5$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$K = - 5 + 9$

خطوة 4.3.2

أضف $- 5$ و $9$ .

$K = 4$

خطوة 5

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$