حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $y = e^{r x}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

خطوة 2.4

أخرِج عامل $e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $e^{r x}$ من $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

خطوة 2.5

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

خطوة 3.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $4$ من $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $r$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

خطوة 3.4.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

خطوة 3.4.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

خطوة 3.4.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$y_{1} = e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$y = c_{1} e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x} + c_{2} e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$