حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} y - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x y - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.2

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أضف $3 y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

خطوة 3.4.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اضرب $3 x y - 4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

خطوة 3.4.8.2

أضف $3 x y$ و $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.2

اجمع $x$ و $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.3

اجمع $\frac{x \cdot 6}{2}$ و $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.4

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.5.2.4

اقسِم $3 x y$ على $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

خطوة 3.5.2.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

خطوة 3.5.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

خطوة 3.5.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 3.5.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

خطوة 3.5.2.7.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $2 x y - 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 x y - 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $3 x y - 2$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x y - 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y^{2} - y$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.2.4

اطرح $2 x y$ من $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.2.5

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.2.6

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y$ من $x y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

خطوة 6.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | y | + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ في عامل التكامل $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $x y^{2} - y$ في $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.3.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.4.2

اضرب $y$ في $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ في $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

خطوة 7.6

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} y - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

خطوة 7.6.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

خطوة 7.6.3

أخرِج العامل $x$ من $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

خطوة 7.7

اجمع $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ و $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

خطوة 7.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $\frac{x}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{x}{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

خطوة 9.2

وسّع $y (3 x y - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

خطوة 9.2.2

انقُل الأقواس.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

خطوة 9.2.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

خطوة 9.2.4

أعِد ترتيب $y$ و $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

خطوة 9.2.5

أعِد ترتيب $y$ و $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

خطوة 9.3.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

خطوة 9.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

خطوة 9.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

خطوة 9.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

خطوة 9.5

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3 x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

خطوة 9.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

خطوة 9.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

خطوة 9.8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

خطوة 9.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

خطوة 9.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

خطوة 9.11

بسّط.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

خطوة 9.12

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \frac{x}{2}$ و $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{3} - 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.4

بما أن $y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.6

بما أن $- 2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.9

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.10

أضف $y^{3}$ و $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.11

اجمع $\frac{x}{2}$ و $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.12

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.13

لكتابة $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.14

اجمع $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.16

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.17

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.17.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.17.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.18

اضرب $x y^{3} - 2 y^{2}$ في $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.3.19

أضف $x y^{3}$ و $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1.1

لكتابة $\frac{d g}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.2

اجمع $\frac{d g}{d x}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1.5.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.1.5.6.4

اقسِم $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ على $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 12.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أضف $y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

خطوة 13.1.2

اطرح $y^{3} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

خطوة 13.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.1

أضف $- y^{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

خطوة 13.1.3.2

أضف $x y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

خطوة 13.1.3.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x y^{3}$ و $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

خطوة 13.1.3.4

اطرح $y^{3} x$ من $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 14.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 14.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

خطوة 16

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.3

اضرب $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اجمع $x$ و $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.3.6

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

خطوة 16.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

خطوة 16.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

خطوة 16.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

خطوة 16.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$