حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} - x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (e^{3 x} - x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int e^{3 x} - x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} - x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int - x d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int - x d x$

خطوة 2.3.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - x d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - x d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \int x d x$

خطوة 2.3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + K$