حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - 16) \frac{d y}{d x} + x y = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x} + x y = 0$

خطوة 1.1.2

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $- 16 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 16 = - x y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 16$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 16) = - x y$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4^{2}) = - x y$

خطوة 1.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 4) (x - 4)) = - x y$

خطوة 1.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$

خطوة 1.1.6

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$ على $(x + 4) (x - 4)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$ على $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.1.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.1.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 4)}{x - 4} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 4)}{x - 4} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.1.6.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.1.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 4) (x - 4)})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 4) (x - 4)})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = (x + 4) (x - 4)$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = (x + 4) (x - 4)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 4$ و $g (x) = x - 4$ .

$(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3.2.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3.2.1.3.4.2

اضرب $x + 4$ في $1$ .

$x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

خطوة 2.3.2.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.3.2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 2.3.2.1.3.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x + 4 + (x - 4) (1 + 0)$

خطوة 2.3.2.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$x + 4 + (x - 4) \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.3.8.2

اضرب $x - 4$ في $1$ .

$x + 4 + x - 4$

خطوة 2.3.2.1.3.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$2 x + 4 - 4$

خطوة 2.3.2.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.8.4.1

اطرح $4$ من $4$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.2.1.3.8.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(x + 4) (x - 4)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 4) (x - 4) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 4) (x - 4) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\ln (| (x + 4) (x - 4) |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 4) (x - 4) |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 4) (x - 4) |)}{2} = C$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $(x + 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 4) + 4 (x - 4) |)}{2} = C$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) |)}{2} = C$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

خطوة 3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot - 4$ و $4 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

خطوة 3.3.2.3

أضف $x \cdot x$ و $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

خطوة 3.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

خطوة 3.3.3.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.4

لكتابة $\ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $\ln (| y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.7

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.7.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.7.1.1.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)}{2} = C$

خطوة 3.7.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |) = C$

خطوة 3.7.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 16 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $y^{2} | x^{2} - 16 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7.1.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7.1.6

بسّط.

$\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

خطوة 3.10.2

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ على ${| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ على ${| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.10.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$