حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ على $1 + \cos (2 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ على $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 2.3.6

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (x)$ إلى $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.7

استخدِم متطابقة فيثاغورس لتحويل $1$ إلى $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اطرح ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ من ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

خطوة 2.3.8.2

أضف ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ و ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

خطوة 2.3.8.3

أضف $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ و $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.9

اضرب المتغير المستقل في $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.10

اجمع.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.11

اضرب ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.12

أعِد كتابة $\sec (\frac{u}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 2.3.13

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

خطوة 2.3.14

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

خطوة 2.3.15

اضرب $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.1

اجمع $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.15.2

اجمع $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ و $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

خطوة 2.3.16

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.17

أعِد كتابة $\sec (\frac{u}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.18

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.19

اجمع.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

خطوة 2.3.20

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.20.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

خطوة 2.3.20.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.21

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.22

اضرب في $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

خطوة 2.3.23

افصِل الكسور.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 2.3.24

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ إلى $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

خطوة 2.3.25

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.25.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

خطوة 2.3.25.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.26

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

خطوة 2.3.27

لنفترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ، لذا $2 d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.27.1

افترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.27.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

خطوة 2.3.27.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $\frac{u_{1}}{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 2.3.27.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.27.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 2.3.27.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.28.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

خطوة 2.3.28.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

خطوة 2.3.28.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.29

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 2.3.30

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.30.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.30.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.30.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.30.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.30.3

اضرب $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.31

بما أن مشتق $\tan (u_{2})$ هو $\sec^{2} (u_{2})$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u_{2})$ هو $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.32

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.32.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.32.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.33

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.33.1

اختزِل العبارة $\frac{2 x}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.33.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.33.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

خطوة 2.3.33.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \tan (x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\frac{π}{4}$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$1 + K = 1$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$K = 1 - 1$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$K = 0$

خطوة 5

عوّض بـ $0$ عن $K$ في $y = \tan (x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $0$ .

$y = \tan (x) + 0$

خطوة 5.2

أضف $\tan (x)$ و $0$ .

$y = \tan (x)$