حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 7$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d t}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 t + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 t}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 7$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 7$

خطوة 2.3

انقُل $7$ إلى يسار $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 7 \cdot e^{2 t}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 7 e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 7 e^{2 t}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 7 e^{2 t}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 7 e^{2 t} d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 t} y = \int 7 e^{2 t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$e^{2 t} y = 7 \int e^{2 t} d t$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 t} y = 7 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = 7 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 t} y = 7 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $7$ .

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} (e^{u} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{2 t} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{2 t} + C$ على $e^{2 t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = \frac{7}{2} e^{2 t} + C$ على $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{7}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{7}{2}$ على $1$ .

$y = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$1 = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 1$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{7}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

خطوة 9.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{7}{2} + \frac{C}{1} = 1$

خطوة 9.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$\frac{7}{2} + C = 1$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اطرح $\frac{7}{2}$ من كلا المتعادلين.

$C = 1 - \frac{7}{2}$

خطوة 9.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$C = \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

خطوة 9.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{2 - 7}{2}$

خطوة 9.3.4

اطرح $7$ من $2$ .

$C = \frac{- 5}{2}$

خطوة 9.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$C = - \frac{5}{2}$

خطوة 10

عوّض بـ $- \frac{5}{2}$ عن $C$ في $y = \frac{7}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- \frac{5}{2}$ .

$y = \frac{7}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $\frac{1}{e^{2 t}}$ في $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{7}{2} - \frac{5}{e^{2 t} \cdot 2}$

خطوة 10.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 t}$ .

$y = \frac{7}{2} - \frac{5}{2 e^{2 t}}$