حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} - \frac{\sin (y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\frac{\sin (y)}{y^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $x$ من $\frac{2 x y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{2 y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $x$ و $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 y}{y^{2}} x = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = \frac{2 y}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2 y}{y^{2}} d y}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

خطوة 2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$e^{2 \ln (| y |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (y)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (y^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$y^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2 y}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2}{y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{2}{y}$ و $x$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y (2 x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = \sin (y)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] = \sin (y)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [y^{2} x] d y = \int \sin (y) d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$y^{2} x = \int \sin (y) d y$

خطوة 7

تكامل $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \cos (y)$ .

$y^{2} x = - \cos (y) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $y^{2} x = - \cos (y) + C$ على $y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $y^{2} x = - \cos (y) + C$ على $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$