حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21) d x + (5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 4 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3} y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $- 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 10 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 10 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 10 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 10 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 10$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.5.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d y} [- 21]$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بما أن $- 21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 21$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + 0$

خطوة 1.6.2

أضف $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5 y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 4 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{4} y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.4.3

اضرب $4$ في $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.5.3

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.6.3

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d x} [42]$

خطوة 2.7

بما أن $42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $42$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + 0$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$

خطوة 2.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int y^{5} d x + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y^{5} x + C + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

خطوة 5.3

بما أن $- 4 y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4 y^{4}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} \int x^{3} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

خطوة 5.5

بما أن $- 10 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 10 y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y \int x d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

خطوة 5.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

خطوة 5.7

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

خطوة 5.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

خطوة 5.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

خطوة 5.9

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C - 21 x + C$

خطوة 5.10

بسّط.

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{5} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{5} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x (5 y^{4}) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.3.3

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$5 x y^{4} + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $- x^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$5 x y^{4} - x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 x y^{4} - x^{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.4.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

بما أن $- 5 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 5 y x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.5.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.6.3

اضرب $2$ في $2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.7

بما أن $- 21 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 21 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

أضف $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y$ و $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 8.9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - 5 x^{2} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $5 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2}$

خطوة 9.1.2

اطرح $5 y^{4} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x$

خطوة 9.1.3

أضف $4 x^{4} y^{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3}$

خطوة 9.1.4

اطرح $4 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

خطوة 9.1.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

أضف $- 5 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

خطوة 9.1.5.2

أضف $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

خطوة 9.1.5.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $5 x y^{4}$ و $- 5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

خطوة 9.1.5.4

اطرح $5 y^{4} x$ من $5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

خطوة 9.1.5.5

أضف $- 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

خطوة 9.1.5.6

أضف $- 4 x^{4} y^{3}$ و $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 + 0 - 4 x y$

خطوة 9.1.5.7

أضف $4 x y + 42$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 - 4 x y$

خطوة 9.1.5.8

اطرح $4 x y$ من $4 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 42$

خطوة 9.1.5.9

أضف $0$ و $42$ .

$\frac{d g}{d y} = 42$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $42$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 42$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 42 d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 42 d y$

خطوة 10.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = 42 y + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + 42 y + C$