حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

خطوة 1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d t}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- t + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- t}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t^{3}$ و $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

خطوة 7.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

خطوة 7.4

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

خطوة 7.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t^{2}$ و $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

خطوة 7.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

خطوة 7.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

خطوة 7.8

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

خطوة 7.9

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

خطوة 7.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

خطوة 7.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

خطوة 7.11.2

اضرب $\int e^{- t} d t$ في $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

خطوة 7.12

لنفترض أن $u = - t$ . إذن $d u = - d t$ ، لذا $- d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

افترض أن $u = - t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1.1

أوجِد مشتقة $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 7.12.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.12.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

خطوة 7.13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

خطوة 7.14

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

خطوة 7.15

أعِد كتابة $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ بالصيغة $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

خطوة 7.16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ على $e^{- t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ على $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $- t^{3}$ على $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.6

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.6.1

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- t^{2} e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.6.2

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- 2 t e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.6.3

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- 2 e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.6.4

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.2.6.5

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.3.2

اقسِم $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ على $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.5.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.1.5.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$