حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = \ln (t) + 4 t$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = (\ln (t) + 4 t) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int \ln (t) + 4 t d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int \ln (t) + 4 t d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{1} = \int \ln (t) d t + \int 4 t d t$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (t)$ و $d v = 1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t + \int 4 t d t$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{t}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

خطوة 2.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int d t + \int 4 t d t$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + \int 4 t d t$

خطوة 2.3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 \int t d t$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 2 t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$s + C_{1} = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + K$