حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} + 3 x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x y^{3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 3 x y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x (3 y^{2})$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 9 x y^{2}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 y^{2} x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 1 - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y$

خطوة 2.4

اطرح $y$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $9 y^{2} x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$9 y^{2} x + 2 y = - y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$9 y^{2} x + 2 y = - y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $9 y^{2} x + 2 y$ .

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- y - (9 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 y$ من $- y$ .

$\frac{- 9 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $3 y$ من $- 9 y^{2} x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $3 y$ من $- 9 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- 3 y x) - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $3 y$ من $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $3 y$ من $3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب في $1$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y (- 3 y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} (1 + 3 x y)$ .

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (- 3 y x - 1)}{y (1 + 3 x y)}$

خطوة 4.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 (- 3 x y - 1)}{y (3 x y + 1)}$

خطوة 4.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 3 x y - 1$ و $3 x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x y$ .

$\frac{3 (- (3 x y) - 1)}{y (3 x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (3 x y) - 1 (1))}{y (3 x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.4

أعِد كتابة $- (3 x y + 1)$ بالصيغة $- 1 (3 x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

خطوة 4.3.8

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

$- \frac{3}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2} + 3 x y^{3}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + 3 x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{2} + 3 x y^{3}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب في $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $1 - x y$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $1 - x y$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + \frac{1 - x y}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + 3 x y}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{1 + 3 x y}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{3 x y}{y} d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

خطوة 8.3.2

اقسِم $3 x$ على $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int 3 x d x$

خطوة 8.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int 3 x d x$

خطوة 8.5

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int 3 x d x$

خطوة 8.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 \int x d x$

خطوة 8.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8.8

بسّط.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 8.9

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.4

بما أن $\frac{3}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{3}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.6.2.2

أضف $- \frac{x}{y^{2}}$ و $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{1 - x y}{y^{3}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

لكتابة $\frac{d g}{d y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - (1 - x y)}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 \cdot 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.3

اضرب $- (- x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 1 (x y)}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

لكتابة $- \frac{x}{y^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y^{3}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1

اضرب $\frac{x}{y^{2}}$ في $\frac{y}{y}$ .

$- \frac{x y}{y^{2} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.2.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{x y}{y^{2} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{x y}{y^{2 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{x y}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x y + \frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.8.1

أضف $- x y$ و $x y$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 0}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.8.2

أضف $\frac{d g}{d y} y^{3} - 1$ و $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1}{y^{3}} = 0$

خطوة 12.1.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 = 0$

خطوة 12.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$

خطوة 12.1.3.2

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ على $y^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ على $y^{3}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

خطوة 12.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

خطوة 12.1.3.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{y^{3}}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

خطوة 13.3

انقُل $y^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (y) = \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

خطوة 13.4

اضرب الأُسس في ${(y^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int y^{3 \cdot - 1} d y$

خطوة 13.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$g (y) = \int y^{- 3} d y$

خطوة 13.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{- 2} + C$

خطوة 13.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 13.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.2.1

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C$

خطوة 13.6.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 \cdot y^{2}} + C$

خطوة 13.6.2.3

اضرب $2$ في $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$