حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = y + 5 t$

خطوة 1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} - y = 5 t$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d t}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- t + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- t}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} (5 t)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} (5 t)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = 5 t e^{- t}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = 5 t e^{- t}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int 5 t e^{- t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- t} y = \int 5 t e^{- t} d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = 5 \int t e^{- t} d t$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t)$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t)$

خطوة 7.4.2

اضرب $\int e^{- t} d t$ في $1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t)$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = - t$ . إذن $d u = - d t$ ، لذا $- d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = - t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 7.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 7.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$

خطوة 7.8

أعِد كتابة $5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$ بالصيغة $5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$

خطوة 7.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ على $e^{- t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ على $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{5 (- t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.2.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y = \frac{- 5 (t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y = \frac{- 5 t e^{- t} - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 t e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t})$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $C$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.1

أعِد كتابة $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ بالصيغة $- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

خطوة 8.3.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C}{e^{- t}}$