حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y d x$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $\sqrt{1 + x^{2}}$ من $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

خطوة 3.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ و $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

خطوة 3.6

اضرب $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

خطوة 3.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

خطوة 3.7.2

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

خطوة 3.7.3

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

خطوة 3.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

خطوة 3.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

خطوة 3.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x^{2}}$ في صورة ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

خطوة 3.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

خطوة 3.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

خطوة 3.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

خطوة 3.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

خطوة 3.7.6.5

بسّط.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{u}}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

خطوة 4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

خطوة 4.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.5.2.2

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.5.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.5.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.5.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.5.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.5.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3.5.3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.5.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.5.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 5.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ بالصيغة $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$