حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $(e^{x} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{e^{x}}$ إلى بسط الكسر.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 4.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 4.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اعكِس علامة أُس $e^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.4.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 4.3.4.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

خطوة 4.3.4.2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

خطوة 4.3.5

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.3.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

خطوة 4.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

خطوة 4.3.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$