حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$6 y d y = 5 x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 6 y d y = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ على $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

اجمع $\frac{5}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.3.1.3

اجمع.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.3.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.1.3.1.5

اضرب $3$ في $3$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}$

خطوة 3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$

خطوة 3.3

بسّط $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لكتابة $\frac{K}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{K}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{9}}$

خطوة 3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{9}}$

خطوة 3.3.4

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}}$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة $\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $5 x^{3} + 3 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{9}}$

خطوة 3.3.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.3.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)}$

خطوة 3.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{5 x^{3} + 3 K}$

خطوة 3.3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{5 x^{3} + 3 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$