حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$2 y d y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = x^{2} - 16$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = x^{2} - 16$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2.3

اضرب $u^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$y^{2} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 16$ .

$y^{2} + C_{1} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{2} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + K$