حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = e^{- 2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + K$