حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y e^{x} d x + e^{x} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $y e^{x} d x$ من كلا المتعادلين.

$e^{x} d y = - y e^{x} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{x} y}$ .

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} y$ .

$\frac{1}{e^{x} (y)} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{e^{x} y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y e^{x}$ من $e^{x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} (1)} (y e^{x}) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} \cdot 1} (y e^{x}) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = - 1 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 1 d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d x$

خطوة 4.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - x + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x + C}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = | y |$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- x + C}$ .

$| y | = e^{- x + C}$

خطوة 5.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x + C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $e^{- x + C}$ بالصيغة $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x} e^{C}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $e^{- x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x}$

خطوة 6.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- x}$