حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 7$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (5 + \frac{1}{x}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = 5 x + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = 5 x + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $7$ عن $y$ في $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ .

$7 = 5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$ .

$5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$

خطوة 4.2

بسّط $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \ln (| 1 |) + C = 7$

خطوة 4.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$5 + \ln (1) + C = 7$

خطوة 4.2.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$5 + 0 + C = 7$

خطوة 4.2.2

أضف $5$ و $0$ .

$5 + C = 7$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$C = 7 - 5$

خطوة 4.3.2

اطرح $5$ من $7$ .

$C = 2$

خطوة 5

عوّض بـ $2$ عن $C$ في $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $2$ .

$y = 5 x + \ln (| x |) + 2$