حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب أسلوب برنولي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$ على $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

خطوة 2

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.4.2

اضرب الأُسس في ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

خطوة 5.5

بسّط.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 5.6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

اضرب $v^{\frac{1}{2}}$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 5.6.2.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 5.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 5.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.14

انقُل $v^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 5.15

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

خطوة 5.16

اجمع $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ و $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

خطوة 5.17

أعِد كتابة $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

خطوة 5.18

اضرب $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

خطوة 5.19

ارفع $v$ إلى القوة $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 5.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

خطوة 5.21

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 5.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

خطوة 5.23

أضف $2$ و $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

عوّض بـ $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- \frac{1}{2}}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ في $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ في $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $2 v^{\frac{3}{2}}$ من $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.4

اضرب $v^{- \frac{1}{2}}$ في $v^{\frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.4.1

انقُل $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.4.4

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.4.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.5

بسّط $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x \cdot 2} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.8

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2 \cdot x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.9

اجمع $v$ و $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.10.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{v}{2 x}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.10.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.10.3

أخرِج العامل $2$ من $- 1 \cdot (2)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.10.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.10.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} \cdot - 1 = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.11

اجمع $\frac{- v}{x}$ و $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v \cdot - 1}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1 v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.13

اضرب $v$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

خطوة 7.1.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 1 \cdot 2 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - (5 x^{3}) {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.4.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.4.2

اضرب الأُسس في ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.4.2.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.4.2.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.4.2.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.5

اضرب $v^{- \frac{3}{2}}$ في $v^{\frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.5.1

انقُل $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 7.1.1.3.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3 - 3}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.5.4

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{0}{2}}$

خطوة 7.1.1.3.5.5

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{0}$

خطوة 7.1.1.3.6

بسّط $- 5 x^{3} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3}$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $v$ من $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - 5 x^{3}$

خطوة 7.1.3

أعِد ترتيب $v$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - 5 x^{3}$

خطوة 7.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 7.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 7.2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 7.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- 5 x^{3})$

خطوة 7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

خطوة 7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

خطوة 7.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- 5 x^{3})$

خطوة 7.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x \cdot x^{3}$

خطوة 7.3.4

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x)$

خطوة 7.3.4.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x^{1})$

خطوة 7.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{3 + 1}$

خطوة 7.3.4.3

أضف $3$ و $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{4}$

خطوة 7.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x v] = - 5 x^{4}$

خطوة 7.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - 5 x^{4} d x$

خطوة 7.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x v = \int - 5 x^{4} d x$

خطوة 7.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$x v = - 5 \int x^{4} d x$

خطوة 7.7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x v = - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

خطوة 7.7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.1

أعِد كتابة $- 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ بالصيغة $- 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x v = - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

خطوة 7.7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{5}$ .

$x v = \frac{- 5}{5} x^{5} + C$

خطوة 7.7.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5} x^{5} + C$

خطوة 7.7.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} x^{5} + C$

خطوة 7.7.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} x^{5} + C$

خطوة 7.7.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x v = \frac{- 1}{1} x^{5} + C$

خطوة 7.7.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$x v = - x^{5} + C$

خطوة 7.8

اقسِم كل حد في $x v = - x^{5} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اقسِم كل حد في $x v = - x^{5} + C$ على $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{5}$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.3.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.8.3.1.2.5

اقسِم $- x^{4}$ على $1$ .

$v = - x^{4} + \frac{C}{x}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = - x^{4} + \frac{C}{x}$