حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + y) d x = (y - x) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(y - x) d y$ من كلا المتعادلين.

$(x + y) d x - (y - x) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (y - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - x)]$

خطوة 3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (y - x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - x]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7.2

اضرب $\frac{d}{d x} [x]$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$1 = 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (y - x) d y$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (y - x)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int y - x d y$

خطوة 6.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int y d y + \int - x d y)$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y)$

خطوة 6.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C)$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{y^{2}}{2} + C - x y + C)$

خطوة 6.6

بسّط.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + g (x)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + g (x)] = x + y$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{y^{2}}{2} - x y) + g (x)] = x + y$

خطوة 9.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (\frac{y^{2}}{2} - x y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (\frac{y^{2}}{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{y^{2}}{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (\frac{y^{2}}{2} - x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (\frac{y^{2}}{2} - x y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2} - x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y^{2}}{2} - x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.3

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.4

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.7

اطرح $y$ من $0$ .

$- - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.3.9

اضرب $y$ في $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = x + y$

خطوة 9.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y = x + y$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x + y - y$

خطوة 10.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 10.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 11.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{y^{2}}{2} - x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (- x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.3

اضرب $- (- x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + 1 (x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + x y + \frac{x^{2}}{2} + C$