حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} + 2 = 3 x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 3 x - 2$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 3 x - 2$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 3 x - 2$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{3}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.3.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

انقُل $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.3.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 2$

خطوة 3.3.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

خطوة 7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$x^{3} y = 3 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

خطوة 7.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 \int x^{3} d x$

خطوة 7.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

بسّط.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

خطوة 7.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

خطوة 7.6.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

خطوة 7.6.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

خطوة 7.6.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

خطوة 7.6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

خطوة 7.6.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

خطوة 7.6.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $\frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{3}{5} x^{2}$ على $1$ .

$y = \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{3}{5}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- \frac{1}{2} x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3.2.4

اقسِم $- \frac{1}{2} x$ على $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{3}}$