حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

خطوة 1.2.2

بما أن $\tan (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \sin (x) \sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اطرح $\sin (x) \cos (y)$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

خطوة 2.2

بما أن $\cos (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\cos (x) \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب عوامل $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- \cos (y) \sin (x)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- \cos (y) \sin (x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $\cos (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\cos (x)$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

خطوة 5.2

تكامل $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $\sin (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\cos (x) \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 8.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

بسّط $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 9.1.1.1.2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $\sin (x) \sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

خطوة 9.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

أضف $- \sin (x) \sin (y)$ و $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

خطوة 9.1.2.2.2

أضف $\tan (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

خطوة 9.1.2.3

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9.1.2.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $\tan (x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

خطوة 10.3

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$