حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 3 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 3 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 3 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} \cdot 1$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} \cdot 1$

خطوة 2.3

اضرب $e^{- 3 x}$ في $1$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{- 3 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{- 3 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{- 3 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 3 x} y = \int e^{- 3 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u = - 3 x$ . إذن $d u = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u = - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 6.1.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 6.1.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 3 x} y = \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 6.2.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 6.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 3 x} y = - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{- 3 x} y = - (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

خطوة 6.6

بسّط.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{u} + C$

خطوة 6.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$ على $e^{- 3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$ على $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $- \frac{1}{3}$ على $1$ .

$y = - \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$