حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 1$ ; when $y (0) = 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (3 x^{2} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$y + C_{1} = x^{3} - x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{3} - x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $4$ عن $y$ في $y = x^{3} - x + K$ .

$4 = 0^{3} - 0 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0^{3} - 0 + K = 4$ .

$0^{3} - 0 + K = 4$

خطوة 4.2

بسّط $0^{3} - 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 0 + K = 4$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

خطوة 4.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + K = 4$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 4$

خطوة 5

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $y = x^{3} - x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$y = x^{3} - x + 4$