حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 3 x + 4$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 1.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (3 x) + x \cdot 4$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x) + x \cdot 4$

خطوة 2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x + x \cdot 4$

خطوة 2.3.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x) + x \cdot 4$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + x \cdot 4$

خطوة 2.3.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + 4 x$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2} + 4 x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x y = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x$

خطوة 6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$x y = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

خطوة 6.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

خطوة 6.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط.

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x y = 1 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$x y = x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$x y = x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x y = x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C$

خطوة 6.6.2.5.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = x^{2} + \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.2.5

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{C}{x}$