حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2.5.2

بسّط.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

خطوة 3.2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $\frac{x^{3}}{3}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

خطوة 3.2.2

اطرح $5 x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

خطوة 3.2.3

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

خطوة 3.3

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $3$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{3}}{3}$ إلى بسط الكسر.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $- 5$ في $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

خطوة 3.3.3

انقُل $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

خطوة 3.3.4

انقُل $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب $3 y^{2}$ و $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

خطوة 3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 3$ و $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.4.2

اضرب $- 3$ في $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.4.3

اضرب $- 15$ في $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5

أخرِج العامل $3$ من $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5.4

أخرِج العامل $3$ من $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5.6

أخرِج العامل $3$ من $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.1.5.7

أخرِج العامل $3$ من $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(0, 11)$ ، انظر فقط $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $x$ وبـ $11$ عن $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.1.3

اضرب $60$ في $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.1.4

أضف $3 + 0 + K$ و $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.1.5

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أعِد ترتيب $3$ و $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $11$ في $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\sqrt{3 (K + 3)}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

خطوة 6.4.1.2

اطرح $3$ من $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

خطوة 6.4.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 (K + 3)}$ في صورة ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1

بسّط ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.2.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1.3.1

اضرب $3$ في $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.2.1.3.2

بسّط.

$3 K + 9 = 63^{2}$

خطوة 6.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.3.1

ارفع $63$ إلى القوة $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

خطوة 6.4.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$3 K = 3969 - 9$

خطوة 6.4.4.1.2

اطرح $9$ من $3969$ .

$3 K = 3960$

خطوة 6.4.4.2

اقسِم كل حد في $3 K = 3960$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.2.1

اقسِم كل حد في $3 K = 3960$ على $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

خطوة 6.4.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

خطوة 6.4.4.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

خطوة 6.4.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.2.3.1

اقسِم $3960$ على $3$ .

$K = 1320$

خطوة 7

عوّض بـ $1320$ عن $K$ في $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $3$ و $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

خطوة 7.2.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$