حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$ على $1 + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$ على $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x^{2}} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{1 + x^{2}} y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{1 + x^{2}} y)$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{1 + x^{2}} y)$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{1 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{1 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\ln (| 1 + x^{2} |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(y^{2} | 1 + x^{2} |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $y^{2} | 1 + x^{2} |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (y^{1} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.6

بسّط.

$\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اقسِم كل حد في $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ على ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

اقسِم كل حد في $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ على ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$