حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

خطوة 1

افترض أن جميع الحلول من صيغة $x = e^{r t}$ .

خطوة 2

أوجِد المعادلة المميزة لـ $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

خطوة 2.3

عوّض في المعادلة التفاضلية.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

خطوة 2.4

احذِف الأقواس.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

خطوة 2.5

أخرِج عامل $e^{r t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $e^{r t}$ من $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $e^{r t}$ من $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $e^{r t}$ من $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

خطوة 2.5.4

أخرِج العامل $e^{r t}$ من $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

خطوة 2.5.5

أخرِج العامل $e^{r t}$ من $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

خطوة 2.6

بما أن الأسية لا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن اقسم كلا الطرفين على $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $10$ من $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

خطوة 3.3

حلّل $r^{2} + 4 r - 5$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 5$ ومجموعهما $4$ .

$- 1, 5$

خطوة 3.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

خطوة 3.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $r - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $r - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r - 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$r = 1$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $r + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $r + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r + 5 = 0$

خطوة 3.6.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$r = - 5$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(r - 1) (r + 5) = 0$ صحيحة.

$r = 1, - 5$

خطوة 4

باستخدام القيمتين اللتين تم إيجادهما لـ $r$ ، يمكن الوصول إلى حلين.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

خطوة 5

وفقًا لمبدأ التراكب، الحل العام هو مجموعة خطية من الحلين لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

خطوة 6

اضرب $t$ في $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$