حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

خطوة 1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d t}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{t + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{t}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t^{2}$ و $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

خطوة 7.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

خطوة 7.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

خطوة 7.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

خطوة 7.5

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

خطوة 7.6

أعِد كتابة $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ بالصيغة $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ على $e^{t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ على $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $t^{2}$ على $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- 2 t$ على $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

خطوة 8.3.1.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$