حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج عامل $\frac{d y}{d x}$ .

$3 \frac{d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $18 x$ إلى كلا المتعادلين.

$3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ على $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (1)} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 \cdot 1} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1} + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.3.1.1.2.4

اقسِم $- 2 x y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{18 x}{3}$

خطوة 1.2.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3}$

خطوة 1.2.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 (1)}$

خطوة 1.2.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1}$

خطوة 1.2.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{6 x}{1}$

خطوة 1.2.2.3.1.2.2.4

اقسِم $6 x$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 6 x$

خطوة 1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x y + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 6 x$

خطوة 1.3.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 2 x (3)$

خطوة 1.3.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (- 1 y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 3)$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- y + 3)$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 3} (2 x (- y + 3))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{- y + 3} (x (- y + 3))$

خطوة 1.5.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} (x (- y + 3))$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $- y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $- y + 3$ من $x (- y + 3)$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- y + 3} d y = 2 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- y + 3} d y = \int 2 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = - y + 3$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = - y + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y + 3$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 3 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| - y + 3 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $\ln (| - y + 3 |)$ على $1$ .

$\ln (| - y + 3 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - 1 \cdot C$

خطوة 3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| - y + 3 |)} = e^{- x^{2} - C}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - C} = | - y + 3 |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$ .

$| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- y + 3 = \pm e^{- x^{2} - C}$

خطوة 3.4.3

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.4.4.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C})$ بالصيغة $- (\pm e^{- x^{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.4.4.3.1.3

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + 3$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + C}) + 3$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{- x^{2} + C}$ بالصيغة $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 3$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- x^{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 3$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = - (C e^{- x^{2}}) + 3$