حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{r}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $r$ من $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

خطوة 1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

خطوة 1.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{r}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

خطوة 2.3.2

تكامل $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

خطوة 3.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $r$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

خطوة 3.6.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

خطوة 3.6.3

اقسِم كل حد في $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ على $\sec (θ)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اقسِم كل حد في $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ على $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

خطوة 3.6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

خطوة 3.6.3.2.1.2

اقسِم $r$ على $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

خطوة 3.6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.3.1

افصِل الكسور.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

خطوة 3.6.3.3.2

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

خطوة 3.6.3.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

خطوة 3.6.3.3.4

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

خطوة 3.6.3.3.5

اقسِم $\pm e^{C}$ على $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

خطوة 3.6.3.3.6

أعِد ترتيب العوامل في $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$r = \cos (θ) C$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $π$ عن $θ$ وبـ $2$ عن $r$ في $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $\cos (π) C = 2$ على $\cos (π)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $\cos (π) C = 2$ على $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

افصِل الكسور.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

خطوة 6.2.3.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (π)}$ إلى $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

خطوة 6.2.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

خطوة 6.2.3.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن القاطع سالب في الربع الثاني.

$C = 2 (- \sec (0))$

خطوة 6.2.3.5

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.2.3.6

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

خطوة 6.2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$C = - 2$

خطوة 7

عوّض بـ $- 2$ عن $C$ في $r = \cos (θ) C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 2$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

خطوة 7.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$