حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x d y + 3 y d x = 0$

خطوة 1

اطرح $3 y d x$ من كلا المتعادلين.

$2 x d y = - 3 y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

خطوة 3.5

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.3

بسّط $3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ على ${| x |}^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ على ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 5.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

خطوة 5.5.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد كتابة $\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

خطوة 5.5.4.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة ${| x |}^{2}$ من ${| x |}^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

خطوة 5.5.4.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

خطوة 5.5.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

خطوة 5.5.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.4

اجمع.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.5

اضرب $\sqrt{e^{C}}$ في $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.6

اضرب $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ في $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ في $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.7.2

انقُل $\sqrt{| x |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

خطوة 5.5.4.7.3

ارفع $\sqrt{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

خطوة 5.5.4.7.4

ارفع $\sqrt{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

خطوة 5.5.4.7.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.5.4.7.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.7.7

أعِد كتابة ${\sqrt{| x |}}^{2}$ بالصيغة $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{| x |}$ في صورة ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.5.4.7.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.5.4.7.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.7.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.7.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

خطوة 5.5.4.7.7.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

خطوة 5.5.4.8

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

خطوة 5.5.4.9

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

خطوة 5.5.4.10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.10.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

خطوة 5.5.4.10.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

خطوة 5.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$